Advertisements (Quảng cáo)
Cho hàm số
\(f\left( x \right) = {x^3} + b{x^2} + cx + d\) ; (C)
\(g\left( x \right) = {x^2} – 3x – 1.\)
a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left( {1;3} \right),\left( { – 1; – 3} \right)\) và \(f’\left( {{1 \over 3}} \right) = {5 \over 3}\) ;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) ;
c) Giải phương trình \(f’\left( {\sin t} \right) = 3\) ;
d) Giải phương trình \(f”\left( {\cos t} \right) = g’\left( {\sin t} \right)\) ;
e) Tìm giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f”\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g’\left( {\sin 3z} \right) + 3}}.\)
a)
\(\eqalign{
& c = 2,b = – 1,d = 1 \cr
& \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} – {x^2} + 2x + 1{\rm{ }}; \cr} \)
b) \(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 2x + 2 \Rightarrow f’\left( 1 \right) = 3.\)
Phương trình tiếp tuyến tại \(M\left( {1;3} \right)\) là
\(y – 3 = 3\left( {x – 1} \right)\) hay \(y = 3x.\)
c)
\(\eqalign{
& f’\left( {\sin t} \right) = 3{\sin ^2}t – 2\sin t + 2. \cr
& f’\left( {\sin t} \right) = 3 \cr
& \Leftrightarrow 3{\sin ^2}t – 2\sin t – 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin t = 1 \hfill \cr
\sin t = – {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr
t = \arcsin \left( { – {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr
t = \pi – \arcsin \left( { – {1 \over 3}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.\left( {k \in Z} \right). \cr} \)
d)
\(\eqalign{
& f”\left( x \right) = 6x – 2 \cr
& \Rightarrow f”\left( {\cos t} \right) = 6\cos t – 2 \cr} \) ;
\(\eqalign{
& g’\left( x \right) = 2x – 3 \cr
& \Rightarrow g’\left( {\sin t} \right) = 2\sin t – 3. \cr} \)
Vậy
\(\eqalign{
& 6\cos t – 2 = 2\sin t – 3 \cr
& \Leftrightarrow 2\sin t – 6\cos t = 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin t – 3\cos t = {1 \over 2}. \cr} \)
Đặt \(\tan \varphi = 3,\) ta được
\(\sin \left( {t – \varphi } \right) = {1 \over 2}\cos \varphi = \alpha .\) Suy ra
\(\left[ \matrix{
t = \varphi + \arcsin \alpha + k2\pi \hfill \cr
t = \pi + \varphi – \arcsin \alpha + k2\pi {\rm{ }}\left( {k \in Z} \right). \hfill \cr} \right.\)
e)
\(\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{f”\left( {\sin 5z} \right) + 2} \over {g’\left( {\sin 3z} \right) + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{6\sin 5z} \over {2\sin 3z}} = 5\mathop {\lim }\limits_{z \to 0} {{{{\sin 5z} \over {5z}}} \over {{{\sin 3z} \over {3z}}}} = 5.\)