Câu 5.52 trang 187 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho hàm số...

Cho hàm số

        $f\left( x \right) = x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 3} + ... + {{{x^{n + 1}}} \over {n + 1}}\,\,\left( {n \in N} \right)$

Tìm

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f’\left( x \right)$                          b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f’\left( x \right)$               

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f’\left( {{1 \over 2}} \right)$                      d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f’\left( 3 \right)$

Ta có

                 $f’\left( x \right) = 1 + x + {x^2} + ... + {x^n}$

Áp dụng công thức tổng quát của cấp số nhân cới số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công bội $q = x \ne 1$ ta được:

                        $f’\left( x \right) = {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}}$

Từ đó suy ra

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f’\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 + x + {x^2} + ... + {x^n}} \right) = n + 1$                     

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f’\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{1 - {x^{n + 1}}} \over {1 - x}} = {{1 - {2^{n + 1}}} \over {1 - 2}} = {2^{n + 1}} - 1$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f’\left( {{1 \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2$(vì$\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n + 1}} = 0$)

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f’\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {{1 - {3^{n + 1}}} \over {1 - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {1 \over 2}\left( {{3^{n + 1}} - 1} \right) =  + \infty$

(vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {{1 \over 3}} \right)^{n + 1}} = 0$ suy ra$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {3^{n + 1}} =  + \infty$)