a) Chứng minh rằng nếu P(x) là một đa thức bậc ba và α là một số thực bất kì ta có
P\left( {x + \alpha } \right) = P\left( \alpha \right) + xP’\left( \alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P”\left( \alpha \right))
+ {{{x^3}} \over 6}P”’\left( \alpha \right), \left( {\forall x \in R} \right)
b) Xác định đa thức P\left( x \right) bậc ba biết
P\left( 0 \right) = P’\left( 0 \right) = P”\left( 0 \right)=P”’\left( 0 \right)\,\, = 1
Ta viết đa thức bậc ba P\left( x \right) dưới dạng
P\left( x \right) = {a_0}{x^3} + {a_1}{x^2} + {a_2}x + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {{a_0} \ne 0} \right)
Ta có
\eqalign{& P’\left( x \right) = 3{a_0}{x^2} + 2{a_1}x + {a_2} \cr& P”\left( x \right) = 6{a_0}x + 2{a_1} \cr& P”’\left( x \right) = 6{a_0}. \cr}
Vậy
Advertisements (Quảng cáo)
\eqalign{& {{{x^3}} \over 6}P”’\left( \alpha \right) + {{{x^2}} \over 2}P”\left( \alpha \right) + xP’\left( \alpha \right) + P\left( \alpha \right) \cr& = {a_0}{x^3} + \left( {3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left( {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x\cr& + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \cr}
Mặt khác ta có
\eqalign{& P\left( {x + \alpha } \right) = {a_0}{\left( {x + \alpha } \right)^3} + {a_1}{\left( {x + \alpha } \right)^2} \cr& \;\;\; + {a_2}\left( {x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}\left( {{x^3} + 3\alpha {x^2} + 3{\alpha ^2}x + {\alpha ^3}} \right) \cr&\;\;\; + {a_1}\left( {{x^2} + 2\alpha x + {\alpha ^2}} \right) + {a_2}\left( {x + \alpha } \right) + {a_3} \cr& = {a_0}{x^3} + \left( {3{a_0}\alpha + {a_1}} \right){x^2} + \left( {3{a_0}{\alpha ^2} + 2{a_1}\alpha + {a_2}} \right)x \cr&\;\;\; + {a_0}{\alpha ^3} + {a_1}{\alpha ^2} + {a_2}\alpha + {a_3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \cr}
So sánh (1) và (2) , suy ra điều phải chứng minh.
b) Khi \alpha = 0, ta được
P\left( x \right) = P\left( 0 \right) + xP’\left( 0 \right) + {{{x^2}} \over 2}P”\left( 0 \right) + {{{x^3}} \over 6}P”’\left( 0 \right).
Vì
P\left( 0 \right) = P’\left( 0 \right) = P”\left( 0 \right) = P”’\left( 0 \right) = 1
Nên đa thức tìm là
P\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} + {{{x^3}} \over 6}