Advertisements (Quảng cáo)
Giả sử hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] và \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\) Chứng minh rằng phương trình \(f\left( x \right) – f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\)
Giải :
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\)
Ta có
\(\eqalign{
& g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) – f\left( {0 + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left( 0 \right) – f\left( {{1 \over 2}} \right) \cr
& g\left( {{1 \over 2}} \right) = f\left( {{1 \over 2}} \right) – f\left( {{1 \over 2} + {1 \over 2}} \right) \cr
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) – f\left( 1 \right) \cr
& = f\left( {{1 \over 2}} \right) – f\left( 0 \right) \cr} \)
(vì theo giả thiết \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right)\)).
Do đó,
\(\eqalign{
& g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = \left[ {f\left( 0 \right) – f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]\left[ {f\left( {{1 \over 2}} \right) – f\left( 0 \right)} \right] \cr
& = – {\left[ {f\left( 0 \right) – f\left( {{1 \over 2}} \right)} \right]^2} \le 0. \cr}\)
Advertisements (Quảng cáo)
– Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) = 0\) thì x = 0 hay \(x = {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình \(g\left( x \right) = 0\)
– Nếu \(g\left( 0 \right)g\left( {{1 \over 2}} \right) < 0\) (1)
Vì \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f\left( {x + {1 \over 2}} \right)\) đều liên tục trên đoạn [0; 1] nên hàm số \(y = g\left( x \right)\) cũng liên tục trên [0; 1] và do đó nó liên tục trên \(\left[ {0;{1 \over 2}} \right]\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong khoảng
Kết luận : Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( x \right) – f\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0\) luôn có nghiệm trong đoạn \(\left( {0;{1 \over 2}} \right)\)
Mục lục môn Toán 11(SBT)