Câu 4.73 trang 148 Toán Đại số 11 (SBT Nâng cao): Cho dãy số xác định bởi...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi

$\left\{ \matrix{ {u_1} = 1 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

a) Chứng minh rằng ${u_n} \ne  - 4$ với mọi n.

b) Gọi $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số xác định bởi

                                    ${v_n} = {{{u_n} + 1} \over {{u_n} + 4}}.$

Chứng minh rằng $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số nhân. Từ đó tìm giới hạn của dãy $\left( {{u_n}} \right)$.

a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp . Ta có ${u_1} = 1 \ne  - 4.$

Giả sử ${u_n} \ne  - 4$. Ta chứng minh ${u_{n + 1}} \ne  - 4.$ Thật vậy,

${u_{n + 1}} = - 4 \Leftrightarrow {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} = - 4$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_n} \ne - 6 \hfill \cr {u_n} - 4 = - 4\left( {{u_n} + 6} \right) \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow {u_n} = - 4.$

Điều này trái với với giả thiết quy nạp.

b) ${v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} \over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 1} \over {{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} \over {5{u_n} + 20}} = {2 \over 5}.{u_n+1\over u_n+4}= {2 \over 5}{v_n}$ với mọi n.

Vậy dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số nhân với công bội  $q = {2 \over 5}.$  Đó là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Vì ${v_n} = {v_1}{\left( {{2 \over 5}} \right)^{n - 1}}$  với mọi n nên $\lim {v_n} = 0.$

Từ đẳng thức trong b) suy ra ${u_n} = {{4{v_n} - 1} \over {1 - {v_n}}}.$  Do đó

                                  $\lim {u_n} =  - 1.$