Cho số thực a và dãy số. Câu 4.75 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Ôn tập chương IV – Giới hạn
Advertisements (Quảng cáo)
Cho số thực a và dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\({u_1} = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} \over 2}.\)
Tìm \(\lim {u_n}.\)
Ta có \(\,{u_2} = 1 + {a \over 2},\,{u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.\)
Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\,\,{u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + … + {1 \over {{2^{n – 2}}}} + {a \over {{2^{n – 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\)
Do đó \({u_n} = {{1 – {1 \over {{2^{n – 1}}}}} \over {1 – {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n – 1}}}} = 2 – {1 \over {{2^{n – 2}}}} + {a \over {{2^{n – 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\)
Vậy \(\lim {u_n} = 2.\)