Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 4.75 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích...

Câu 4.75 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Cho số thực a và dãy số...

Chia sẻ
Cho số thực a và dãy số. Câu 4.75 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Ôn tập chương IV – Giới hạn

Cho số thực a và dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

           \({u_1} = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} \over 2}.\)

Tìm \(\lim {u_n}.\)

Giải

Ta có \(\,{u_2} = 1 + {a \over 2},\,{u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.\)

Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:

\(\,\,{u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + … + {1 \over {{2^{n – 2}}}} + {a \over {{2^{n – 1}}}},\) với mọi \(n \ge 3.\)

Do đó \({u_n} = {{1 – {1 \over {{2^{n – 1}}}}} \over {1 – {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n – 1}}}} = 2 – {1 \over {{2^{n – 2}}}} + {a \over {{2^{n – 1}}}},\)  với mọi \(n \ge 3.\)

Vậy \(\lim {u_n} = 2.\)                       



Loading...