Câu 4.75 trang 149 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Cho số thực a và dãy số...

Cho số thực a và dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xác định bởi

           ${u_1} = a,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{u_{n + 1}} = 1 + {{{u_n}} \over 2}.$

Tìm $\lim {u_n}.$

Ta có $\,{u_2} = 1 + {a \over 2},\,{u_3} = 1 + {{{u_2}} \over 2} = 1 + {1 \over 2} + {a \over {{2^2}}}.$

Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh được rằng:

$\,\,{u_n} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over {{2^2}}} + ... + {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},$ với mọi $n \ge 3.$

Do đó ${u_n} = {{1 - {1 \over {{2^{n - 1}}}}} \over {1 - {1 \over 2}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}} = 2 - {1 \over {{2^{n - 2}}}} + {a \over {{2^{n - 1}}}},$  với mọi $n \ge 3.$

Vậy $\lim {u_n} = 2.$