Bài 2.12 trang 70 Sách bài tập Hình học 11: Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC, M...

Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC , M  là một điểm tùy ý trên cạnh AD.

a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD)

b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và IM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD).

c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ).

(h.2.30)

a)

$\left\{ \matrix{ M \in \left( {MIJ} \right) \hfill \cr M \in AD \Rightarrow M \in \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow M \in \left( {MIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right)$

Ta cũng có:

$\left\{ \matrix{ IJ\parallel AB \hfill \cr IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr AB \subset \left( {ABD} \right) \hfill \cr} \right.$ 

$\Rightarrow \left( {MIJ} \right) \cap \left( {ABD} \right) = d = Mt$ và $Mt\parallel AB\parallel IJ$

b) Ta có: $Mt\parallel AB \Rightarrow Mt \cap BD = N$

$IN \cap JM = K \Rightarrow \left\{ \matrix{ K \in IN \hfill \cr K \in JM \hfill \cr} \right.$

Vì $K \in IN \Rightarrow K \in \left( {BC{\rm{D}}} \right)$

Và $K \in JM \Rightarrow K \in \left( {AC{\rm{D}}} \right)$

Mặt khác $\left( {BC{\rm{D}}} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}$ do đó $K \in C{\rm{D}}$. Do vậy K nằm trên hai nửa đường thẳng Cm và Dn thuộc đường thẳng CD. ( Để  ý rằng nếu M là trung điểm của AD thì sẽ không có điểm K.)

c) Ta có:

$\left\{ \matrix{ K \in \left( {ABK} \right) \hfill \cr K \in IN \Rightarrow K \in \left( {MIJ} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow K \in \left( {ABK} \right) \cap \left( {MIJ} \right)$

Mà

$\left\{ \matrix{ AB \subset \left( {ABK} \right) \hfill \cr IJ \subset \left( {MIJ} \right) \hfill \cr AB\parallel IJ \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {ABK} \right) \cap \left( {MIJ} \right) = Kx$ và $K{\rm{x}}\parallel AB\parallel IJ$