Advertisements (Quảng cáo)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q.
a) Chứng minh MN song song với PQ.
b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a và b.
(h.2.33)
a)
Ta có: \(I \in \left( {SA{\rm{D}}} \right) \Rightarrow I \in \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {IBC} \right)\)
Vậy
\(\left\{ \matrix{
A{\rm{D}}\parallel BC \hfill \cr
A{\rm{D}} \subset \left( {SA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
BC \subset \left( {IBC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {IBC} \right) = PQ\)
và \(PQ\parallel A{\rm{D}}\parallel BC \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Tương tự: \(J \in \left( {SBC} \right) \Rightarrow J \in \left( {SBC} \right) \cap \left( {JAD} \right)\)
Vậy
\(\left\{ \matrix{
A{\rm{D}}\parallel BC \hfill \cr
A{\rm{D}} \subset \left( {JA{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
BC \subset \left( {SBC} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left( {JA{\rm{D}}} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MN\) và \(MN\parallel BC\parallel AD\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(PQ\parallel MN\).
b) Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(E = AM \cap BP \Rightarrow \left\{ \matrix{
E \in \left( {AMN{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
E \in \left( {PBCQ} \right) \hfill \cr} \right.\)
\(F = DN \cap CQ \Rightarrow \left\{ \matrix{
F \in \left( {AMN{\rm{D}}} \right) \hfill \cr
F \in \left( {PBCQ} \right) \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \(EF = \left( {AMN{\rm{D}}} \right) \cap \left( {PBCQ} \right)\)
Mà
\(\left\{ \matrix{
A{\rm{D}}\parallel BC \hfill \cr
MN\parallel PQ \hfill \cr} \right.\) suy ra \(EF\parallel A{\rm{D}}\parallel BC\parallel MN\parallel PQ\)
Tính
\(EF:CP \cap EF = K \Rightarrow EF = EK + KF\)
\(EK\parallel BC \Rightarrow {{EK} \over {BC}} = {{PE} \over {PB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
\(PM\parallel AB \Rightarrow {{PE} \over {EB}} = {{PM} \over {AB}}\)
Mà \({{PM} \over {AB}} = {{SP} \over {SA}} = {2 \over 3}\) suy ra \({{PE} \over {EB}} = {2 \over 3}\)
Từ (*) suy ra
\(\eqalign{
& {{EK} \over {BC}} = {{PE} \over {PB}} = {{PE} \over {PE + EB}} \cr
& = {1 \over {1 + {{EB} \over {PE}}}} = {1 \over {1 + {3 \over 2}}} = {2 \over 5} \cr
& \Rightarrow EK = {2 \over 5}BC = {2 \over 5}b \cr} \)
Tương tự ta tính được \(KF = {2 \over 5}a\)
Vậy: \(EF = {2 \over 5}a + {2 \over 5}b = {2 \over 5}\left( {a + b} \right)\)
Mục lục môn Toán 11(SBT)
- Đề kiểm tra 45 phút - Chương 1 - Hình học 11 Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song
- Bài 1. Đai cương về đường thằng và mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song