Bài 2.16 trang 67 SBT Đại số và giải tích 11: Sử dụng đồng nhất thức để chứng minh rằng...

Sử dụng đồng nhất thức ${k^2} = C_k^1 + 2C_k^2$ để chứng minh rằng 

${1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1}  + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}$

Ta có:

$A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}}  = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1}  + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.}$

Kết hợp với $C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k$, ta được

$A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + {{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)} \over 3}$

$= {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}$