Sử dụng đồng nhất thức để chứng minh rằng . Bài 2.16 trang 67 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 - Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
Sử dụng đồng nhất thức \({k^2} = C_k^1 + 2C_k^2\) để chứng minh rằng
\({1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2 = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}}\)
Ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(A = \sum\limits_{k = 1}^n {{k^2}} = \sum\limits_{k = 1}^n {C_k^1} + 2\sum\limits_{K = 2}^N {C_k^2.} \)
Kết hợp với \(C_{n + 1}^{k + 1} = C_n^k + C_{n - 1}^k + ... + C_{k + 1}^k + C_k^k\), ta được
\(A = C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 1}^3 = {{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + {{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)} \over 3}\)
\(= {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\)