Bài 3.1 trang 168 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Vẽ đồ thị của hàm số này.Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên...

Cho hàm số $f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x}$

Vẽ đồ thị của hàm số này. Từ đồ thị dự đoán các khoảng trên đó hàm số liên tục và chứng minh dự đoán đó.

Giải:

a) 

$f\left( x \right) = {{\left( {x - 1} \right)\left| x \right|} \over x} = \left\{ \matrix{ x - 1,\,{\rm{ nếu }}\,\,x > 0 \hfill \cr 1 - x,\,{\rm{ nếu\,\, x < 0}} \hfill \cr} \right.$ Hàm số này có tập xác định là $R\backslash \left\{ 0 \right\}$

b)

Từ đồ thị (H.7) dự đoán $f\left( x \right)$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right),\;\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)$ nhưng không liên tục trên R. Thật vậy,

- Với $x > 0,f\left( x \right) = x - 1$ là hàm đa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên $\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }} + \infty } \right)$

- Với $x < 0,f\left( x \right) = 1 - x$ cũng làhàmđa thức nên liên tục trên R do đó liên tục trên $\left( { - \infty {\rm{ }};{\rm{ }}0} \right)$

Dễ thấy hàm số gián đoạn tại x = 0 vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) =  - 1,{\rm{ }}\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = 1$