Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Cho biết \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \({\rm{D}}\), \(AB = 2AD\).
a) Chứng minh \(CD \bot \left( {SAD} \right)\).
b) Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(CM \bot \left( {SAB} \right)\).
Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.
a) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot C{\rm{D}}\\AB \bot C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SA{\rm{D}}} \right)\)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AB\parallel C{\rm{D}} \Rightarrow AM\parallel C{\rm{D}}\\AM = C{\rm{D}}\left( { = \frac{1}{2}AB} \right)\end{array} \right\}\)
\( \Rightarrow AMC{\rm{D}}\) là hình bình hành
Lại có: \(\widehat {MAD} = {90^ \circ }\)
Vậy \(AMC{\rm{D}}\) là hình chữ nhật
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow CM \bot AB\\SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CM\end{array} \right\} \Rightarrow CM \bot \left( {SAB} \right)\)