Bài 1 trang 85 Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho tứ diện đều $ABCD$. Vẽ hình bình hành $BCED$...

Cho tứ diện đều $ABCD$. Vẽ hình bình hành $BCED$.

a) Tìm góc giữa đường thẳng $AB$ và $\left( {BCD} \right)$.

b) Tim góc phẳng nhị diện $\left[ {A,CD,B} \right];\left[ {A,CD,E} \right]$.

‒ Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

‒ Cách xác định góc phẳng nhị diện $\left[ {A,d,B} \right]$: Dựng mặt phẳng $\left( P \right)$ vuông góc với $d$, gọi $a,a’$ lần lượt là giao tuyến của $\left( P \right)$ với hai nửa mặt phẳng chứa $A,B$, khi đó $\left[ {A,d,B} \right] = \left( {a,a’} \right)$.

a) Giả sử tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng $a$.

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$, $O$ là tâm của $\Delta BC{\rm{D}}$

$\Rightarrow AO \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right)$

$\Rightarrow \left( {AB,\left( {BC{\rm{D}}} \right)} \right) = \left( {AB,OB} \right) = \widehat {ABO}$

$BI$ là trung tuyến của tam giác đều $BC{\rm{D}}$

$\Rightarrow BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

$\cos \widehat {ABO} = \frac{{BO}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {ABO} \approx 54,{7^ \circ }$

Vậy $\left( {AB,\left( {BC{\rm{D}}} \right)} \right) \approx 54,{7^ \circ }$

b) $\Delta AC{\rm{D}}$ đều $\Rightarrow AI \bot C{\rm{D}}$

$\Delta BC{\rm{D}}$ đều $\Rightarrow BI \bot C{\rm{D}}$

Vậy $\widehat {AIB}$ là góc phẳng nhị diện $\left[ {A,C{\rm{D}},B} \right]$.

$OI = \frac{1}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6},AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

$\tan \widehat {AIB} = \frac{{AO}}{{OI}} = 2\sqrt 2 \Rightarrow \widehat {AIB} \approx 70,{5^ \circ }$

$\Delta AC{\rm{D}}$ đều $\Rightarrow AI \bot C{\rm{D}}$

$\Delta EC{\rm{D}}$ đều $\Rightarrow EI \bot C{\rm{D}}$

Vậy $\widehat {AIE}$ là góc phẳng nhị diện $\left[ {A,C{\rm{D}},B} \right]$.

$\widehat {AIE} = {180^ \circ } - \widehat {AIB} = 109,{5^ \circ }$