Bài 2 trang 81 Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Cho hai tam giác cân $ABC$ và $ABD$ có đáy chung $AB$ và không cùng nằm trong một mặt...

Cho hai tam giác cân $ABC$ và $ABD$ có đáy chung $AB$ và không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng $AB \bot CD$.

b) Xác định đoạn vuông góc chung của $AB$ và $C{\rm{D}}$.

‒ Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng ${90^ \circ }$.

Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

‒ Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $a$ và $b$ vuông góc với nhau:

Bước 1: Xác định mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $b$ mà $\left( P \right)$ vuông góc với $a$.

Bước 2: Tìm giao điểm $I = \left( P \right) \cap a$.

Bước 3: Kẻ $IA \bot b\left( {A \in b} \right)$, chứng minh $IA \bot a$. Khi đó $d\left( {a,b} \right) = IA$.

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$

$\Delta ABC$ cân tại $C$$\Rightarrow CI \bot AB$

$\Delta ABD$ cân tại $D$$\Rightarrow DI \bot AB$

$\Rightarrow AB \bot \left( {C{\rm{D}}I} \right) \Rightarrow AB \bot C{\rm{D}}$

b) Kẻ $IH \bot C{\rm{D}}\left( {H \in C{\rm{D}}} \right)$

$AB \bot \left( {C{\rm{D}}I} \right) \Rightarrow AB \bot IH$

Vậy $IH$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $C{\rm{D}}$.