Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M\) là trung điểm của \(SC\).
a) Tìm giao điểm \(I\) của đường thẳng \(AM\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh \(IA = 2IM\).
b) Tìm giao điểm \(E\) của đường thẳng \(S{\rm{D}}\) và mặt phẳng \(\left( {ABM} \right)\).
c) Gọi \(N\) là một điểm tuỳ ý trên cạnh \(AB\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).
‒ Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, ta tìm giao điểm của đường thẳng đó với một đường thẳng trong mặt phẳng.
‒ Để chứng minh \(IA = 2IM\), ta dựa vào tính chất trọng tâm của tam giác.
a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(I\) là giao điểm của \(AM\) và \(SO\). Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}I \in SO \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\I \in AM\end{array} \right\} \Rightarrow I = AM \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)
Xét tam giác \(SAC\) có:
\(ABCD\) là hình bình hành \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AC\)
Theo đề bài ta có \(M\) là trung điểm của \(SC\)
Mà \(I = SO \cap AM\)
\( \Rightarrow I\) là trọng tâm của .
b) Gọi \(E\) là giao điểm của \(S{\rm{D}}\) và \(BI\). Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}E \in BI \subset \left( {ABM} \right)\\E \in S{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow E = S{\rm{D}} \cap \left( {ABM} \right)\)
c) Gọi \(J\) là giao điểm của \(MN\) và \(BE\). Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}J \in BE \subset \left( {SB{\rm{D}}} \right)\\J \in MN\end{array} \right\} \Rightarrow J = MN \cap \left( {SB{\rm{D}}} \right)\)