Bài 4 trang 99 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E, F, G$ lần lượt là ba điểm trên ba cạnh \(AB, AC...

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $E,F,G$ lần lượt là ba điểm trên ba cạnh $AB,AC,BD$ sao cho $EF$ cắt $BC$ tại $I\left( {I \ne C} \right)$, $EG$ cắt $A{\rm{D}}$ tại $H\left( {H \ne D} \right)$.

a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$; $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$.

b) Chứng minh ba đường thẳng $CD,IG,HF$ cùng đi qua một điểm.

‒ Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng đó.

‒ Để chứng minh ba đường thẳng $CD,IG,HF$ cùng đi qua một điểm, ta chứng minh $H,F$ và giao điểm của $CD,IG$ thẳng hàng bằng cách chứng minh ba điểm cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}G \in \left( {EFG} \right)\\G \in BD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left. \begin{array}{l}I \in EF \subset \left( {EFG} \right)\\I \in BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow I \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {BCD} \right)\end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là đường thẳng $GI$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}F \in \left( {EFG} \right)\\F \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in EG \subset \left( {EFG} \right)\\H \in A{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)\end{array}$

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {EFG} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng $HF$.

b) Gọi $J$ là giao điểm của $CD$ và $IG$.

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}J \in IG \subset \left( {EFG} \right)\\J \in C{\rm{D}} \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow J \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)$

Mà $F \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right),H \in \left( {EFG} \right) \cap \left( {ACD} \right)$ (theo chứng minh phần a).

Do đó ba điểm $H,F,J$ thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng $CD,IG,HF$ cùng đi điểm $J$.