Bài 4 trang 24 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Rút gọn các biểu thức sau: a...

Rút gọn các biểu thức sau:

a, $\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) - cos\alpha$,

b, ${\left( {cos\alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha$

Áp dụng công thức lượng giác

$\sin \left( {a + b} \right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

$\sin 2a = 2\sin a\cos a$

a, Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) - cos\alpha = \sqrt 2 .\left( {\sin \alpha \cos \frac{\pi }{4} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{4}} \right) - cos\alpha \\ = \sqrt 2 .\left( {\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) - cos\alpha \\ = \sqrt 2 .{\sin \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \sqrt 2 .\cos \alpha .\frac{{\sqrt 2 }}{2}} - cos\alpha \\ =\sin \alpha + \cos \alpha - cos\alpha \\ = \sin \alpha \end{array}$

b, Ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {cos\alpha + \sin \alpha } \right)^2} - \sin 2\alpha \\ = co{s^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha + 2cos\alpha \sin \alpha - 2\sin \alpha cos\alpha \\ = {\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\end{array}$