Tìm các giới hạn sau:
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{1}{{x + 1}}\);
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - {x^2}} \right)\);
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{x}{{3 - x}}\).
Bước 1: Đưa hàm số \(f\left( x \right)\) về tích của hai hàm số, trong đó một hàm số có giới hạn hữu hạn, còn một hàm số có giới hạn vô cực.
Bước 2: Áp dụng quy tắc xét dấu để tính giới hạn của tích.
a) Áp dụng giới hạn một bên thường dùng,
Ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\x - \left( { - 1} \right) > 0,x \to - {1^ + }\end{array} \right. \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{1}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{1}{{x - \left( { - 1} \right)}} = + \infty \)
b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - {x^2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2}.\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right)\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^2} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{{x^2}}} - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{1}{{{x^2}}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } 1 = 0 - 1 = - 1\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {1 - {x^2}} \right) = - \infty \)
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{x}{{3 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{ - x}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}}\)
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( { - x} \right) = - \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} x = - 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{1}{{x - 3}} = - \infty \)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{x}{{3 - x}} = + \infty \)