Bài 4 trang 85 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x - \sin x, g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$...

Cho hàm số $f\left( x \right) = 2x - \sin x,g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$.

Xét tính liên tục hàm số $y = f\left( x \right).g\left( x \right)$ và $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$.

Xét tính liên tục của các hàm số $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ sau đó áp dụng định lí về tính liên tục của tích, thương hai hàm số.

• Xét hàm số $f\left( x \right) = 2x - \sin x$ có tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Vậy hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

• Xét hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$

ĐKXĐ: $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$ có tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right)$.

Hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$ là hàm căn thức nên liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} = \sqrt {1 - 1} = 0 = g\left( 1 \right)$

Do đó hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$.

Vậy hàm số $g\left( x \right) = \sqrt {x - 1}$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

• Xét hàm số $y = f\left( x \right).g\left( x \right) = \left( {2x - \sin x} \right)\sqrt {x - 1}$

Do hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ đều liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)$ nên hàm số $y = f\left( x \right).g\left( x \right)$ liên tục trên nửa khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

• Xét hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{2x - \sin x}}{{\sqrt {x - 1} }}$

Do hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ đều liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)$ nên hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.