Bài 5 trang 60 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tính các tổng sau: \({S_n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} +...

Tính các tổng sau:

a) ${S_n} = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^n}}}$;

b) ${S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9}$

Sử dụng công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội $q$ là: ${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}$.

a) Tổng ${S_n}$ là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công bội $q = \frac{1}{3}$ nên ta có:

${S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1\left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{3}}} = \frac{3}{2}\left( {1 - \frac{1}{{{3^n}}}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{1}{{{{2.3}^{n - 1}}}}$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{S_n} = 9 + 99 + 999 + ... + \underbrace {99...9}_{n\,\,chu\,\,so\,\,9} = \left( {10 - 1} \right) + \left( {100 - 1} \right) + \left( {1000 - 1} \right) + ... + \left( {\underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0} - 1} \right)\\ = \left( {10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}} \right) - n\end{array}$

Tổng $10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,so\,\,0}$ là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 10$ và công bội $q = 10$ nên ta có:

$10 + 100 + 1000 + ... + \underbrace {100...0}_{n\,\,chu\,\,s\^o \,\,0} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} = \frac{{10 - {{10}^{n + 1}}}}{{ - 9}} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9}$

Vậy ${S_n} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10}}{9} - n = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 10 - 9n}}{9}$