Biết rằng \({4^\alpha } = \frac{1}{5}\). Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \({16^\alpha } + {16^{ - \alpha }}\);
b) \({\left( {{2^\alpha } + {2^{ - \alpha }}} \right)^2}\).
Biến đổi đưa về luỹ thừa của \({4^\alpha }\).
a) \({16^\alpha } + {16^{ - \alpha }} = {16^\alpha } + \frac{1}{{{{16}^\alpha }}} = {\left( {{4^2}} \right)^\alpha } + \frac{1}{{{{\left( {{4^2}} \right)}^\alpha }}} = {\left( {{4^\alpha }} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {{4^\alpha }} \right)}^2}}} = {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} + \frac{1}{{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2}}} = \frac{{626}}{{25}}\)
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {{2^\alpha } + {2^{ - \alpha }}} \right)^2} = {\left( {{2^\alpha }} \right)^2} + {2.2^\alpha }{.2^{ - \alpha }} + {\left( {{2^{ - \alpha }}} \right)^2} = {2^{2\alpha }} + 2 + {2^{ - 2\alpha }} = {\left( {{2^2}} \right)^\alpha } + 2 + {\left( {{2^2}} \right)^{ - \alpha }}\\ = {4^\alpha } + 2 + {4^{ - \alpha }} = {4^\alpha } + 2 + \frac{1}{{{4^\alpha }}} = \frac{1}{5} + 2 + \frac{1}{{\frac{1}{5}}} = \frac{{36}}{5}\end{array}\)