Giải mục 1 trang 54, 55 Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ trong không gian...

Hoạt động 1

Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ trong không gian. Qua một điểm $M$ tuỳ ý vẽ $a’\parallel a$ và vẽ $b’\parallel b$. Khi thay đổi vị trí của điểm $M$, có nhận xét gì về góc giữa $a’$ và $b’$?

Quan sát hình ảnh và nhận xét.

Khi thay đổi vị trí của điểm $M$, góc giữa $a’$ và $b’$ không đổi.

Thực hành 1

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$ có 6 mặt đều là hình vuông $M,N,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,BA,AA’,A’D’$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) $MN$ và $DD’$;

b) $MN$ và $CD’$;

c) $EF$ và $CC’$.

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$:

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a’\parallel a$ và đường thẳng $b’\parallel b$.

Bước 3: Tính $\left( {a,b} \right) = \left( {a’,b’} \right)$.

a) Ta có: $M$ là trung điểm của $BC$

$N$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow MN\parallel AC$

Mà $DD’\parallel AA’$

$\Rightarrow \left( {MN,DD’} \right) = \left( {AC,AA’} \right) = \widehat {A’AC} = {90^ \circ }$.

b) Ta có: $MN\parallel AC$

$\Rightarrow \left( {MN,CD’} \right) = \left( {AC,C{\rm{D}}’} \right) = \widehat {AC{\rm{D}}’}$

Vì $ABC{\rm{D}},ADD’A’,C{\rm{DD}}'{\rm{C}}’$ là các hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng bằng nhau. Vậy $AC = A{\rm{D}}’ = C{\rm{D}}’$

$\Rightarrow \Delta AC{\rm{D}}’$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat {AC{\rm{D}}’} = {60^ \circ }$.

Vậy $\left( {MN,CD’} \right) = {60^ \circ }$.

Vận dụng 1

Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$. Tính góc giữa hai thanh gỗ $a$ và $b$.

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$:

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a’\parallel a$ và đường thẳng $b’\parallel b$.

Bước 3: Tính $\left( {a,b} \right) = \left( {a’,b’} \right)$.

Ta có: $a\parallel OM \Rightarrow \left( {a,b} \right) = \left( {OM,b} \right) = \widehat {MON} = {90^ \circ }$.