Hoạt động 2
Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm \(x = {x_0}\) với \({x_0} > 0\).
Tính giới hạn \(f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\).
Với bất kì \({x_0} > 0\), ta có:
\(\begin{array}{l}f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\sqrt x - \sqrt {{x_0}} }}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\left( {\sqrt x - \sqrt {{x_0}} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} } \right)}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{x - {x_0}}}{{\left( {x - {x_0}} \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {{x_0}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{1}{{\sqrt x + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{\sqrt {{x_0}} + \sqrt {{x_0}} }} = \frac{1}{{2\sqrt {{x_0}} }}\end{array}\)
Vậy \(f’\left( x \right) = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Thực hành 2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \sqrt x \) tại điểm có hoành độ bằng 4.
Hệ số góc: \(f’\left( {{x_0}} \right)\).
Phương trình tiếp tuyến: \(y - f\left( {{x_0}} \right) = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).
\({y_0} = \sqrt 4 = 2\)
Ta có: \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) nên tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\left( {4;2} \right)\) có hệ số góc là: \(f’\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} = \frac{1}{4}\)
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(M\) là:
\(y - 2 = \frac{1}{4}\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x - 1 + 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{4}x + 1\).
Thực hành 3
Tìm đạo hàm của các hàm số:
a) \(y = \sqrt[4]{x}\) tại \(x = 1\);
b) \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x = - \frac{1}{4}\);
a) Sử dụng công thức \({\left( {{x^\alpha }} \right)^\prime } = \alpha {x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)\).
b) Sử dụng công thức \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}\left( {x \ne 0} \right)\).
a) \(y’ = {\left( {\sqrt[4]{x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^{\frac{1}{4}}}} \right)^\prime } = \frac{1}{4}{x^{\frac{1}{4} - 1}} = \frac{1}{4}{x^{ - \frac{3}{4}}} = \frac{1}{{4\sqrt[4]{{{x^3}}}}}\)
\(y’\left( 1 \right) = \frac{1}{{4\sqrt[4]{{{1^3}}}}} = \frac{1}{4}\).
b) \(y’ = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^\prime } = - \frac{1}{{{x^2}}}\)
\(y’\left( { - \frac{1}{4}} \right) = - \frac{1}{{{{\left( { - \frac{1}{4}} \right)}^2}}} = - 16\).