Giải mục 2 trang 72, 73 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hai hàm số và $y = g\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}$...

Hoạt động 2

Cho hai hàm số và $y = g\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}$.

a) Giả sử $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số bất kì thoả mãn ${x_n} \ne - 1$ với mọi $n$ và ${x_n} \to 1$ khi $n \to + \infty$. Tìm giới hạn $\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right]$.

b) Từ đó, tìm giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]$, và so sánh với $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$.

a) Áp dụng các công thức tính giới hạn hữu hạn của dãy số.

b) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right],\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$ bằng cách đưa về tính giới hạn của dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ thỏa mãn ${x_n} \to {x_0}$ khi $n \to + \infty$ sau đó so sánh.

a) $\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \lim \left( {2{x_n} + \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}}} \right) = 2\lim {x_n} + \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = 2.1 + \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{5}{2}$

b) Vì $\lim \left[ {f\left( {{x_n}} \right) + g\left( {{x_n}} \right)} \right] = \frac{5}{2}$ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \frac{5}{2}$ (1).

Ta có: $\lim {\rm{ }}f\left( {{x_n}} \right) = \lim 2{x_n} = 2\lim {x_n} = 2.1 = 2 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) = 2$

$\lim g\left( {{x_n}} \right) = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = \lim \frac{{{x_n}}}{{{x_n} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}g\left( x \right) = \frac{1}{2}$

Vậy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} {\rm{ }}f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$

Thực hành 2

Tìm các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} + 5x - 2} \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}$.

a) Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của hàm số.

b) Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành tích các nhân tử.

Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước 3: Áp dụng định lý giới hạn hữu hạn của hàm số.

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {{x^2} + 5x - 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^2} + \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {5x} \right) - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 2$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {x^2} + 5\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} 2 = {\left( { - 2} \right)^2} + 5.\left( { - 2} \right) - 2 = - 8$

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 1 = 1 + 1 = 2$