Giải mục 2 trang 82 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Với giá trị nào của $k$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k$?...

Hoạt động 2

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 1}&{khi\,\,1 < x \le 2}\\k&{khi\,\,x = 1}\end{array}} \right.$.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$.

b) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$ và so sánh giá trị này với $f\left( 2 \right)$.

c) Với giá trị nào của $k$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k$?

a) Bước 1: Tính $f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ (nếu có).

Bước 3: Kết luận:

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ thì hàm số liên tục tại điểm ${x_0}$.

• Nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right)$ hoặc không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$ thì hàm số không liên tục tại điểm ${x_0}$.

b) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.

c) Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right)$ và giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k$.

a) Với mọi điểm ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$, ta có: $f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {x + 1} \right) = {x_0} + 1$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + 1$ nên hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại mỗi điểm ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1} \right) = 2 + 1 = 3$.

$f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3$.

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$.

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x + 1} \right) = 1 + 1 = 2$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k \Leftrightarrow 2 = k \Leftrightarrow k = 2$

Vậy với $k = 2$ thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = k$.

Thực hành 2

Xét tính liên tục của hàm số $y = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x}$ trên $\left[ {1;2} \right]$.

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên khoảng $\left( {a;b} \right)$.

Bước 2: Tính giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)$ và so sánh $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right)$ với $f\left( a \right)$, $\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right)$ với $f\left( b \right)$.

Bước 3: Kết luận.

Đặt $f\left( x \right) = \sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x}$

Với mọi ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$, ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 1} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2 - x} \\ & \,\,\,\,\, = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x} = \sqrt {{x_0} - 1} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\end{array}$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {1;2} \right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} x} = \sqrt {1 - 1} + \sqrt {2 - 1} = 1 = f\left( 1 \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {2 - x} } \right)\\ & = \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 1} + \sqrt {\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} 2 - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x} = \sqrt {2 - 1} + \sqrt {2 - 2} = 1 = f\left( 2 \right)\end{array}$

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {1;2} \right]$.

Vận dụng 1

Tại một xưởng sản xuất bột đã thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của $x$ (kg) bột đã thạch anh được tính theo công thức sau:

$P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.$ ($k$ là một hãng số).

a) Với $k = 0$, xét tính liên tục của hàm số $P\left( x \right)$ trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$?

a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$ và điểm ${x_0} = 400$, từ đó đưa ra kết luận.

b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$.

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)$ và $P\left( {400} \right)$.

Bước 3: Giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right) = P\left( {400} \right)$ để tìm $k$.

a) Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$ và điểm ${x_0} = 400$, từ đó đưa ra kết luận.

b) Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right),{x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$.

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)$ và $P\left( {400} \right)$.

Bước 3: Giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right) = P\left( {400} \right)$ để tìm $k$.

a) Với $k = 0$, hàm số có dạng $P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.$

• Với mọi ${x_0} \in \left( {0;400} \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4,5x} \right) = 4,5\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4,5{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {0;400} \right)$.

• Với mọi ${x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$, ta có:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} x = 4{x_0} = P\left( {{x_0}} \right)$

Vậy hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục tại mọi điểm ${x_0} \in \left( {400; + \infty } \right)$.

• $f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x = 4.400 = 1600$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800$.

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} {\rm{ }}P\left( x \right)$ nên không tồn tại $\mathop {\lim }\limits_{x \to 400} P\left( x \right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại điểm ${x_0} = 400$.

Vậy hàm số $y = f\left( x \right)$ không liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Xét hàm số $P\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4,5x}&{khi\,\,0 < x \le 400}\\{4x + k}&{khi\,\,x > 400}\end{array}} \right.$ ($k$ là một hãng số)

Hàm số liên tục trên các khoảng $\left( {0;400} \right)$ và $\left( {400; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( {400} \right) = 4,5.400 = 1800$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} \left( {4x + k} \right) = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} x + \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} k = 4.400 + k = 1600 + k$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} \left( {4,5x} \right) = 4,5.\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} x = 4,5.400 = 1800$.

Để hàm số $y = P\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$ thì hàm số $y = P\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm ${x_0} = 400$.

Để hàm số liên tục tại điểm ${x_0} = 400$ thì:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{400}^ - }} P\left( x \right) = f\left( {400} \right) \Leftrightarrow 1600 + k = 1800 \Leftrightarrow k = 200$

Vậy với $k = 200$ thì hàm số $P\left( x \right)$ liên tục trên $\left( {0; + \infty } \right)$