Giải mục 3 trang 48 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hai dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ và $\left( {{b_n}} \right)$ được xác định như sau...

Hoạt động 4

Cho hai dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ và $\left( {{b_n}} \right)$ được xác định như sau: ${a_n} = 3n + 1;$ ${b_n} = - 5n$.

a) So sánh ${a_n}$ và ${a_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

b) So sánh ${b_n}$ và ${b_{n + 1}},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

a) Tìm ${a_{n + 1}}$ rồi xét hiệu ${a_{n + 1}} - {a_n}$.

b) Tìm ${b_{n + 1}}$ rồi xét hiệu ${b_{n + 1}} - {b_n}$.

a) Ta có: ${a_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4$

Xét hiệu: ${a_{n + 1}} - {a_n} = \left( {3n + 4} \right) - \left( {3n + 1} \right) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${a_{n + 1}} > {a_n}$.

a) Ta có: ${b_{n + 1}} = - 5\left( {n + 1} \right) = - 5n - 5$

Xét hiệu: ${b_{n + 1}} - {b_n} = \left( { - 5n - 5} \right) - \left( { - 5n} \right) = - 5n - 5 + 5n = - 5 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${b_{n + 1}} < {b_n}$.

Thực hành 3

Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{2n - 1}}{{n + 1}}$;

b) $\left( {{x_n}} \right)$ với ${x_n} = \frac{{n + 2}}{{{4^n}}}$;

c) $\left( {{t_n}} \right)$ với ${t_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.{n^2}$.

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$:

Bước 1: Tìm ${u_{n + 1}}$.

Bước 2: Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$ hoặc xét thương $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ nếu các số hạng của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là số dương.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0$ hoặc $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} > 1$ thì ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

– Nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} < 0$ hoặc $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} < 1$ thì ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

b) Ta có: ${x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}$

Xét hiệu:

${x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} - \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 - 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 - 4n - 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ - 3n - 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${x_{n + 1}} - {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}$. Vậy dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số giảm.

c) Ta có: ${t_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{.1^2} = - 1;{t_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{.3^2} = - 9$, suy ra ${t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}$. Vậy $\left( {{t_n}} \right)$ là dãy số không tăng không giảm.

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{2\left( {n + 1} \right) - 1}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{2n + 2 - 1}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{2n + 1}}{{n + 2}} - \frac{{2n - 1}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {2n + 1} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {2{n^2} + n + 2n + 1} \right) - \left( {2{n^2} - n + 4n - 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{2{n^2} + n + 2n + 1 - 2{n^2} + n - 4n + 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{3}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

b) Ta có: ${x_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) + 2}}{{{4^{n + 1}}}} = \frac{{n + 1 + 2}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}}$

Xét hiệu:

${x_{n + 1}} - {x_n} = \frac{{n + 3}}{{{{4.4}^n}}} - \frac{{n + 2}}{{{4^n}}} = \frac{{n + 3 - 4\left( {n + 2} \right)}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{n + 3 - 4n - 8}}{{{{4.4}^n}}} = \frac{{ - 3n - 5}}{{{{4.4}^n}}} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$

Vậy ${x_{n + 1}} - {x_n} < 0 \Leftrightarrow {x_{n + 1}} < {x_n}$. Vậy dãy số $\left( {{x_n}} \right)$ là dãy số giảm.

c) Ta có: ${t_1} = {\left( { - 1} \right)^1}{.1^2} =- 1;{t_2} = {\left( { - 1} \right)^2}{.2^2} = 4;{t_3} = {\left( { - 1} \right)^3}{.3^2} =- 9$, suy ra ${t_1} < {t_2},{t_2} > {t_3}$. Vậy $\left( {{t_n}} \right)$ là dãy số không tăng không giảm.

Vận dụng 3

Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi ${u_1} = 25$ là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, ${u_n}$ là số cột gỗ có ở hàng thứ $n$ tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi ${v_1} = 14$ là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, ${v_n}$ là số cột gỗ có ở hàng thứ $n$ tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Đưa dãy số về công thức truy hồi rồi xét hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy.

a) Ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = 25\\{u_2} = 24 = {u_1} - 1\\{u_3} = 23 = {u_2} - 1\\ \vdots \end{array}$

Vậy công thức truy hồi: ${u_n} = {u_{n - 1}} - 1\left( {n \ge 2} \right) \Leftrightarrow {u_n} - {u_{n - 1}} = - 1 < 0$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{v_1} = 14\\{v_2} = 15 = {v_1} + 1\\{v_3} = 16 = {v_2} + 1\\ \vdots \end{array}$

Vậy công thức truy hồi: ${v_n} = {v_{n - 1}} + 1\left( {n \ge 2} \right) \Leftrightarrow {v_n} - {v_{n - 1}} = 1 > 0$.

Vậy $\left( {{v_n}} \right)$ là dãy số tăng.