Giải mục 4 trang 49 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{1}{n}$...

Hoạt động 5

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{1}{n}$. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$\left. \begin{array}{l}1 > 0\\n > 0\end{array} \right\} \Leftrightarrow \frac{1}{n} > 0 \Leftrightarrow {u_n} > 0$

$n \ge 1 \Leftrightarrow {u_n} = \frac{1}{n} \le \frac{1}{1} \Leftrightarrow {u_n} \le 1$

Thực hành 4

Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = \cos \frac{\pi }{n}$;

b) $\left( {{b_n}} \right)$ với ${b_n} = \frac{n}{{n + 1}}$

a) Sử dụng tính chất của hàm lượng giác.

b) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

a) Ta có: $- 1 \le \cos \frac{\pi }{n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow - 1 \le {a_n} \le 1,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Vậy dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ bị chặn.

b) $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ ta có:

$n > 0 \Leftrightarrow n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{n}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow {b_n} > 0$. Vậy $\left( {{b_n}} \right)$ bị chặn dưới.

${b_n} = \frac{n}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right) - 1}}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}$

Vì $n + 1 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}} > 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{{n + 1}} < 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{n + 1}} < 1 \Leftrightarrow {b_n} < 1$. Vậy $\left( {{b_n}} \right)$ bị chặn trên.

Ta thấy dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ bị chặn.