Giải mục 5 trang 45, 46 Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Cho $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hai hàm số có đạo hàm tại ${x_0}$...

Hoạt động 5

Cho $f\left( x \right)$ và $g\left( x \right)$ là hai hàm số có đạo hàm tại ${x_0}$. Xét hàm số $h\left( x \right) = f\left( x \right) + g\left( x \right)$.

Ta có $\frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

nên $h’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{h\left( x \right) - h\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = ... + ...$

Chọn biểu thức thích hợp thay cho chỗ chấm để tìm $h’\left( {{x_0}} \right)$.

Sử dụng định nghĩa đạo hàm: $f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = f’\left( {{x_0}} \right);\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{g\left( x \right) - g\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = g’\left( {{x_0}} \right)$

Vậy $h’\left( {{x_0}} \right) = f’\left( {{x_0}} \right) + g’\left( {{x_0}} \right)$.

Thực hành 6

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = x{\log _2}x$;

b) $y = {x^3}{e^x}$.

Sử dụng công thức ${\left( {u.v} \right)^\prime } = u’v + uv’$.

a) $y’ = {\left( {x{{\log }_2}x} \right)^\prime } = {\left( x \right)^\prime }{\log _2}x + x{\left( {{{\log }_2}x} \right)^\prime } = {\log _2}x + x.\frac{1}{{x\ln 2}} = {\log _2}x + \frac{1}{{\ln 2}}$.

b) $y’ = {\left( {{x^3}{e^x}} \right)^\prime } = {\left( {{x^3}} \right)^\prime }{e^x} + {x^3}{\left( {{e^x}} \right)^\prime } = 3{{\rm{x}}^2}{e^x} + {x^3}{e^x}$