Bài 23 trang 107 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết rằng ba số \({u_1}...

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ biết rằng ba số ${u_1},{u_4}$ và ${u_7}$ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai $d \ne 0$. Hãy tìm công bội $q$ của cấp số nhân đó.

- Số hạng tổng quát của cấp số nhân ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$

- Số hạng tổng quát của cấp số cộng ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d$

Cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có ${u_4} = {u_1}.{q^3};{u_7} = {u_1}.{q^6}$

Vì ba số ${u_1},{u_4}$ và ${u_7}$ lần lượt là các số hạng thứ nhất, thứ hai và thứ mười của một cấp số cộng có công sai d nên ta có

$\left\{ \begin{array}{l}{u_4} = {u_1}{q^3} = {u_1} + d\\{u_7} = {u_1}{q^6} = {u_1} + 9d\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = d\\{u_1}\left( {{q^6} - 1} \right) = 9d\end{array} \right.$

Do $d \ne 0$ nên $9 = \frac{{9d}}{d} = \frac{{{u_1}\left( {{q^6} - 1} \right)}}{{{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right)}} = {q^3} + 1 \Leftrightarrow {q^3} = 8 \Leftrightarrow q = 2$