Bài 25 trang 108 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Tính các giới hạn sau...

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)}}{{{n^2} + 2n + 3}}$.

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right)$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 4}}$

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x + 1} + 2x} \right)$.

- Sử dụng các quy tắc, một số giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn

- Tổng cấp số cộng ${S_n} = \frac{{{u_1} + {u_n}}}{2}.n$

- Tổng cấp số nhân ${S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$

a) Ta có 1, 3, 5,…, 2n – 1 là cấp số cộng gồm $\frac{{2n - 1 - 1}}{2} + 1 = n$ số hạng

Do đó

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{1 + 3 + 5 + \cdots + (2n - 1)}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\frac{{1 + 2n - 1}}{2}.n}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{n^2}}}{{{n^2} + 2n + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{{{n^2}}}}} = 1$

b) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right)$

Ta có $1,\frac{2}{3},\frac{4}{9}, \cdots ,\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}$ là cấp số nhân có ${u_1} = 1,q = \frac{2}{3}$ và gồm n + 1 số hạng nên

$1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}} = \frac{{1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n + 1}}}}{{1 - \frac{2}{3}}} = 3 - 3.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{n + 1}}$

Do đó $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {1 + \frac{2}{3} + \frac{4}{9} + \cdots + \frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left[ {3 - 3.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{n + 1}}} \right] = 3 - 3.0 = 3$

c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2{x^2} + 3x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{2x - 1}}{{x - 2}} = \frac{{2.\left( { - 2} \right) - 1}}{{ - 2 - 2}} = 2$

d)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\sqrt {4{x^2} + x + 1} + 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{4{x^2} + x + 1 - 4{x^2}}}{{\sqrt {4{x^2} + x + 1} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + 1}}{{\sqrt {4{x^2} + x + 1} - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x}}}{{ - \sqrt {4 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} - 2}} = \frac{{1 + 0}}{{ - \sqrt {4 + 0 + 0} - 2}} = \frac{{ - 1}}{4}$