Bài 3.7 trang 67 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?...

Phỏng vấn một học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu ở bên

a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.

b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Sử dụng công thức số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là $\bar x$

$\bar x = \frac{{{m_1}{x_1} + \ldots + {m_k}{x_k}}}{n}$

Trong đó $n = {m_1} + \ldots + {m_k}$ là cỡ mẫu và là giá trị đại diện của nhóm $\left[ {{a_i},{a_{i + 1}}} \right)$

Để tính tứ phân vị thứ nhất${Q_1}$của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_1}$, giả sử đó là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};\;{a_{p + 1}}} \right).\;$Khi đó,

${Q_1} = {a_p} + \frac{{\frac{n}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$,

Trong đó, n là cỡ mẫu, ${m_p}$ là tần số nhóm p, với $p = 1$ ta quy ước ${m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0$.

Để tính tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa ${Q_3}$. Giả sử đó là nhóm thứ $p:\left[ {{a_p};\;{a_{p + 1}}} \right)$. Khi đó,

${Q_3} = {a_p} + \frac{{\frac{{3n}}{4} - \left( {{m_1} + \ldots + {m_{p - 1}}} \right)}}{{{m_p}}}.\left( {{a_{p + 1}} - {a_p}} \right)$.

Trong đó, n là cỡ mẫu, ${m_p}$ là tần số nhóm p, với $p = 1$ ta quy ước ${m_1} + \ldots + {m_{p - 1}} = 0$.

a)

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nam

${\bar x_{nam}} = \frac{{4.5 \times 6 + 5.5 \times 10 + 6.5 \times 13 + 7.5 \times 9 + 8.5 \times 7}}{{6 + 10 + 13 + 9 + 7}} = 6.52$.

Thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ:

${\bar x_{nữ}} = \frac{{4.5 \times 4 + 5.5 \times 8 + 6.5 \times 10 + \times 7.5 \times 11 + 8.5 \times 8}}{{4 + 8 + 10 + 11 + 8}} = 6.77$.

6.77 > 6.52. Như vậy thời gian ngủ trung bình của các bạn nữ nhiều hơn các bạn nam.

b) Cỡ mẫu n = 86

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là $\frac{{{x_{21}} + {x_{22}}}}{2}$. Do ${x_{21}},\;{x_{22}}$ đều thuộc nhóm $\left[ {5;6} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$. Do đó, $p = 2;\;\;{a_2} = 5;\;\;{m_2} = 18;\;\;{m_1} = 10;\;{a_3} - {a_2} = 1$

Ta có: ${Q_1} = 5 + \frac{{\frac{{86}}{4} - 10}}{{18}} \times 1 = 5.64$

Ý nghĩa: Có 75% học sinh khối 1 ngủt nhất 5.64 giờ.