Đồ thị của hàm số y=ax (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(x0;y0) là y−y0=f′(x0)(x−x0), trong đó y0=f(x0)
Ta có y′=−ax2
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm có hoành độ x0 là
y−ax0=−ax20(x−x0) hay y=−ax20x+2ax0
Gọi phương trình tiếp tuyến cắt hai trục tọa độ lần lượt tại A, B
⇒A(0;2ax0),B(2x0;0)
Do đó diện tích tam OAB bằng 12.OA.OB=12|2ax0.2x0|=2a
Vậy tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.