Giải mục 3 trang 45, 46 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 3n - 1$...

Hoạt động 4

a) Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 3n - 1$. Tính ${u_{n + 1}}$ và so sánh với ${u_n}$.

b) Xét dãy số $\left( {{v_n}} \right)$ với ${v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}$. Tính ${v_{n + 1}}$ và so sánh với ${v_n}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${u_{n + 1}} < {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

a) Ta có: ${u_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) - 1 = 3n + 2$.

Suy ra ${u_{n + 1}} > {u_n}$.

b) Ta có: ${v_{n + 1}} = \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$.

Suy ra: ${u_{n + 1}} < {u_n}$.

Luyện tập 3

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{1}{{n + 1}}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${u_{n + 1}} < {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{1}{{n + 1 + 1}} = \frac{1}{{n + 2}}$.

Mà $\left( {n + 2} \right) > \left( {n + 1} \right)$ suy ra $\frac{1}{{n + 2}} < \frac{1}{{n + 1}}$.

Tức là ${u_{n + 1}} < {u_n},\;\forall n \in {N^*}$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Hoạt động 5

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n},\;\forall \;n\; \in {N^*}$

a) So sánh ${u_n}$ và 1.

b) So sánh ${u_n}$ và 2.

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \le M,\;n \in {N^*}$.

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \ge m,\;n \in {N^*}$.

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M,\;n \in {N^*}$.

a) ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}= 1+ \frac{{1}}{n} > 1$.

b) ${u_n} = \frac{{n + 1}}{n}= 1+ \frac{{1}}{n} < 2$.

Luyện tập 4

Xét tính bị chặn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, với ${u_n} = 2n - 1$.

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \le M,\;n \in {N^*}$.

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \ge m,\;n \in {N^*}$.

- Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M,\;n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để $2n - 1 < M,\;\forall n \in {N^*}$.

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới, vì $\left( {{u_n}} \right) = 2n - 1 \ge 1,n \in {N^*}\;$.

Vận dụng

Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi ${s_n}$ (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

$s_1 = 200, s_n = s_{n-1} +25$ với $n \ge 2$

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh $\left( {{s_n}} \right)$ là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

a) Tìm số hạng tổng quát.

b, Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n},\;$với mọi $n \in {N^*}$.

a) Số hạng tổng quát: ${s_n} = 200 + 25(n - 1)$.

Lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là :

${s_5} = 200 + 25(5 - 1) = 300$ (triệu đồng)

b) Ta có:

$\begin{array}{l}{s_{n + 1}} = 200 + 25(n + 1 - 1) = 200 + 25n\\{s_{n + 1}} - {s_n} = 200 + 25n - \left[ {200 + 25(n - 1)} \right] = 25 > 0\\ \Rightarrow {s_{n + 1}} > {s_n}\end{array}$

$\Rightarrow$ $\left( {{s_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Vậy $\left( {{s_n}} \right)$ là dãy số tăng.