Giải mục 3 trang 54, 55 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu $S_n$ của nó bằng...

Hoạt động 3

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = a$ và công bội $q \ne 1$

Để tính tổng của n số hạng đầu${S_n} = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_{n - 1}} + {u_n}$

Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo ${u_1}$ và q để được biểu thức tính tổng ${S_n}$ chỉ chứa ${u_1}$ và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích $q.{S_n}$ chỉ chứa ${u_1}$ và $q$.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở cả a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính $\left( {1 - q} \right){S_n}$ theo ${u_1}$và $q$. Từ đó suy ra công thức tính ${S_n}$.

Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng ${S_n}$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng ${S_n}$.

a) ${u_2} = {u_1}.q$

${u_3} = {u_1}.{q^2}$

…

${u_{n - 1}} = {u_1}.{q^{n - 2}}$

${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$

${S_n} = {u_1} + {u_1}q + \ldots + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}$

b) $q{S_n} = q{u_1} + {u_1}{q^2} + \ldots + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n}$

c) ${S_n} - q{S_n} = \left( {{u_1} + {u_1}q + \ldots + {u_1}{q^{n - 2}} + {u_1}{q^{n - 1}}} \right) - (q{u_1} + {u_1}{q^2} + \ldots + {u_1}{q^{n - 1}} + {u_1}{q^n})$.

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {1 - q} \right){S_n} = {u_1} - {u_1}{q^n} = {u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}}\end{array}$

Câu hỏi 2

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu $S_n$ của nó bằng bao nhiêu?

Để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng ${S_n}$, ta dựa vào công thức tính số hạng tổng quát: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

Sau đó, ta cộng các số hạng trong dãy số ta được tổng các số hạng ${S_n}$.

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là $u_1, u_1, ..., u_1,...$ Khi đó

${S_n} = u_1 + u_1 + ... + u_1 = n . u_1$ (tổng của n số hạng u_1).

Vận dụng

Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Dựa vào đề bài xác định đâu là cấp số cộng, đâu là cấp số nhân.

Từ đó suy ra công thức tổng quát, thay giá trị n để tính được tổng lương và so sánh.

Theo phương án 1, tiền lương mỗi quý tạo thành cấp số nhân với

${u_1} = 5 \times 3 = 15$, công sai $d = 0,5 \times 3 = 1,5$

Công thức tổng quát ${u_n} = 15 + 1,5\left( {n - 1} \right)$

Sau 3 năm làm việc $\left( {n = 12} \right)$, lương của người nông dân là:

$\frac{{12}}{2}\left[ {2 \times 15 + \left( {12 - 1} \right) \times 1,5} \right] = 279$ (triệu đồng)

Theo phương án 2, tiền lương mỗi quý sẽ tạo thành cấp số nhân với

${u_1} = 5 \times 3 = 15$, công bội $q = 1,05$

Công thức tổng quát ${u_n} = 15 \times 1,{05^{n - 1}}$

Sau 3 năm làm việc $\left( {n = 12} \right),$ lương của người nông dân là:

$\frac{{15\left( {1 - 1,{{05}^{12}}} \right)}}{{1 - 1,05}} = 238,757$ (triệu đồng)

Vậy thì theo phương án 1 thì tổng lương nhận được của người nông dân cao hơn.