Cho hyperbol (H) xác định bởi phương trình \(y = {1 \over x}\)
a. Tìm phương trình tiếp tuyến (T) của (H) tại tiếp điểm A có hoành độ a (với a ≠ 0)
b. Giả sử (T) cắt trục Ox tại điểm I và cắt trục Oy tại điểm J. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T).
c. Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A.
Với mọi x ≠ 0, ta có : \(f’\left( x \right) = - {1 \over {{x^2}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
a. Phương trình tiếp tuyến (T) tại điểm \(A\left( {a;{1 \over a}} \right)\) là :
\(y = - {1 \over {{a^2}}}\left( {x - a} \right)\,\,hay\,y = - {1 \over {{a^2}}}x + {2 \over a}\)
b. Ta nhận thấy \(I\left( {2a;0} \right);\,J\left( {0;{2 \over a}} \right)\)
Kiểm tra dễ dàng rằng điểm \(A\left( {a;{1 \over a}} \right)\) là trung điểm của đoạn IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T). Đó là đường thẳng IJ.
c. Diện tích tam giác OIJ là :
\(S = {1 \over 2}\left| {OI} \right|.\left| {OJ} \right| = {1 \over 2}\left| {2a.{2 \over a}} \right| = 2\) (đvdt)
Vì S không phụ thuộc vào a nên diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A ϵ (H)