Advertisements (Quảng cáo)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2\sin x + \cos \left( {x – {\pi \over 4}} \right)\)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của f(x)
b) Giải phương trình \(f\left( x \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
c) Tìm giá trị gần đúng (chính xác đến hàng phần nghìn) của các nghiệm nằm trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\) của phương trình \(f\left( x \right) = {{\sqrt 2 } \over 2}\)
a) Giá trị lớn nhất là \(\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \); giá trị nhỏ nhất là \( – \sqrt {5 + 2\sqrt 2 } \)
b) \(\,\,x = k2\pi ;\,\,\,x = 2\alpha + k2\pi \) với \(\sin \alpha = {{4 + \sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}\) và \(\cos \alpha = {{\sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }}\)
c) Trong khoảng \(\left( {0;2\pi } \right)\), không có giá trị nào thuộc họ \(\,\,x = k2\pi \). Đối với họ nghiệm thứ hai, ta có thể chọn \(\alpha = \arccos {{\sqrt 2 } \over {2\sqrt {5 + 2\sqrt 2 } }} \approx 1,3153\). Khi đó ta có \(0 < \alpha < {\pi \over 2}\) và
\(\eqalign{
& – 2\alpha + k2\pi \in \left( {0;2\pi } \right) \Leftrightarrow 0 < – 2\alpha + k2\pi < 2\pi \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\alpha < k2\pi < 2\alpha + 2\pi \cr} \)
Vậy chỉ có một giá trị nghiệm duy nhất của k thỏa mãn điều kiện này, đó là k = 1. Vậy \(\,\,x = – 2\alpha + 2\pi \approx 3,653\)