Bài 2 trang 179 Đại số và giải tích 11: Tính đạo hàm của hàm đã cho...

Bài 2. Cho hàm số $y = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}$

a) Tính $A = {5 \over {6 + 7\sin 2x}}$ , biết rằng $\tan α = 0,2$

b) Tính đạo hàm của hàm đã cho.

c) Xác định các khoảng trên đó $y’$ không dương.

a) Tính $A$

Đặt $t= \tan α = 0,2$, ta có:

$\eqalign{ & \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cr & = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} \cr & = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha (1 + {{\tan }^2}\alpha )}} \cr & = {{2\sin \alpha } \over {\cos \alpha (1 + ta{n^2}\alpha )}} \cr & = {{2\tan \alpha } \over {1 + ta{n^2}\alpha }} = {{2t} \over {1 + {t^2}}} \cr}$

Với $t = 0,2$ ta có:

 $A = {5 \over {6 + 7.{{2t} \over {1 + {t^2}}}}} = {5 \over {6 + {{14.0,2} \over {1 + {{(0,2)}^2}}}}} = {{65} \over {113}}$

b) Tính đạo hàm

 $y’ = {{-5(6 + 7\sin 2x)’} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}} = {{-70.cos2x} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}}$

c) Các khoảng nghịch biến của hàm số

Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng D.

$\eqalign{ & \Leftrightarrow y’ \le 0,x \in D \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \cos 2x \ge 0 \hfill \cr \sin 2x \ne {{ - 6} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \in \left[ { - {\pi \over 2} + k2\pi ;{\pi \over 2} + k2\pi } \right] \hfill \cr \sin 2x \ne {6 \over 7} \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \in \left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + k\pi } \right] \hfill \cr \sin 2x \ne {6 \over 7} \hfill \cr} \right. (k \in \mathbb Z) \cr}$