Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 (sách cũ) Bài 3 trang 179 SGK Đại số và giải tích 11: Giải...

Bài 3 trang 179 SGK Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình...

Bài 3 trang 179 SGK Đại số và giải tích 11: ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11. Giải các phương trình

Bài 3. Giải các phương trình

a) \(2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

b) \(3cos x + 4sin x = 5\)

c) \(sin x + cos x = 1 + sin x. cosx\)

d) \(\sqrt {1 - \cos x}  = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right]\)

e) \((cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx = 0\)

a)

\(\eqalign{
& 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos 2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos 2x = 0 \hfill \cr
\sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
\left[ \matrix{
{x \over 2} = {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr
{x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr
x = {{5\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \cr} \)

 b) Ta có:

\(\eqalign{
& 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr
& \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1(\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5});(0 < \varphi < {\pi \over 2}) \cr
& \Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1 \cr
& \Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi (k \in\mathbb Z) \cr
& \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi (k \in\mathbb Z)\cr} \)

c)

Advertisements (Quảng cáo)

\(sin x + cosx = 1 + sinx. cosx\)

\(⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0\)

\(⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr
sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr} \)

d) Điều kiện \(\sin x ≥ 0\). Khi đó:

\(\eqalign{
& \sqrt {1 - \cos x} = \sin x \cr
& \Leftrightarrow 1\cos x = {\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \cos x(cosx - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos x = 0 \hfill \cr
\cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr
x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}\)

 Vì \( x ∈ [π, 3π]\) và \(sinx ≥ 0\) nên ta chọn:

\(\eqalign{
& k = 2 \Rightarrow x = {{5\pi } \over 2} \cr
& k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \cr} \)

 e)

\(\eqalign{
& (cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x\cos {x \over 4} + \cos x\sin {x \over 4} + \cos x - 3({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin (x + {x \over 4}) + \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow \sin {{5x} \over 4} + \cos x = 3 \cr} \)

Vì \(\sin {{5x} \over 4} \le 1\) , \(cosx ≤ 1\) nên phương trình trên vô nghiệm.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)