Bài 3 trang 179 SGK Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình...

Bài 3. Giải các phương trình

a) $2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x$

b) $3cos x + 4sin x = 5$

c) $sin x + cos x = 1 + sin x. cosx$

d) $\sqrt {1 - \cos x}  = \sin x(x \in \left[ {\pi ,3\pi } \right]$

e) $(cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx = 0$

a)

$\eqalign{ & 2\sin {x \over 2}{\cos ^2}x - 2\sin {x \over 2}{\sin ^2}x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}({\cos ^2}x - {\sin ^2}x) = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 2\sin {x \over 2}.cos2x = \cos 2x \Leftrightarrow \cos 2x(2\sin {x \over 2} - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos 2x = 0 \hfill \cr \sin {x \over 2} = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr \left[ \matrix{ {x \over 2} = {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr {x \over 2} = \pi - {\pi \over 6} + k\pi \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb Z) \cr}$

 b) Ta có:

$\eqalign{ & 3cos{\rm{ }}x + 4sin{\rm{ }}x = 5 \cr & \Leftrightarrow {3 \over 5}\cos x + {4 \over 5}\sin x = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos x\cos \varphi + \sin x\sin \varphi = 1(\text { với }cos\varphi = {3 \over 5};\sin \varphi = {4 \over 5});(0 < \varphi < {\pi \over 2}) \cr & \Leftrightarrow \cos (x - \varphi ) = 1 \cr & \Leftrightarrow x - \varphi = k2\pi (k \in\mathbb Z) \cr & \Leftrightarrow x = \varphi + k2\pi (k \in\mathbb Z)\cr}$

c)

$sin x + cosx = 1 + sinx. cosx$

$⇔ sin x – sin x. cosx + cosx – 1= 0$

$⇔ sin x ( 1 – cosx) – (1 – cosx) = 0$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\mathop{\rm cosx}\nolimits} = 1 \hfill \cr sinx = 1 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k2\pi \hfill \cr x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr}$

d) Điều kiện $\sin x ≥ 0$. Khi đó:

$\eqalign{ & \sqrt {1 - \cos x} = \sin x \cr & \Leftrightarrow 1\cos x = {\sin ^2}x \cr & \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x - \cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow {\cos ^2}x - \cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos x(cosx - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr \cos x = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z \cr}$

 Vì $x ∈ [π, 3π]$ và $sinx ≥ 0$ nên ta chọn:

$\eqalign{ & k = 2 \Rightarrow x = {{5\pi } \over 2} \cr & k = 1 \Rightarrow x = 2\pi \cr}$

 e)

$\eqalign{ & (cos{x \over 4} - 3\sin x)sinx + (1 + sin{x \over 4} - 3\cos x)cosx = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x\cos {x \over 4} + \cos x\sin {x \over 4} + \cos x - 3({\sin ^2}x + {\cos ^2}x) = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin (x + {x \over 4}) + \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow \sin {{5x} \over 4} + \cos x = 3 \cr}$

Vì $\sin {{5x} \over 4} \le 1$ , $cosx ≤ 1$ nên phương trình trên vô nghiệm.