Bài 6 trang 98 Hình học 11: Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc...

Bài 6. Trong không gian cho hai hình vuông $ABCD$ và $ABC’D’$ có chung cạnh $AB$ và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm $O$ và $O’$. Chứng minh rằng $AB ⊥ OO’$ và tứ giác $CDD’C’$ là hình chữ nhật.

(h.3.20)

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO’}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AO’}-\overrightarrow{AO})$

                  $=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO’}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}$

                  $= AB.AO’.\cos45^{0} - AB.AO.\cos45^{0}$

                  $= 0$. 

Vậy $AB ⊥ OO’$.

   Mặt khác ta có $CD$ song song và bằng $C’D’$ nên $CDC’D’$ là hình bình hành. $AB$ vuông góc với $BC$ và $BC’$ nên $AB$ vuông góc với $(BCC’)$$\Rightarrow AB ⊥ CC’$; mà $CD // AB \Rightarrow CD ⊥ CC’  \Rightarrow  CDD’C’$ là hình chữ nhật.