Bài 7 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác...

Bài 7. Giải phương trình $f'(x) = 0$, biết rằng:

a) $f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x$;

b) $f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )$.

a) $f'(x) = - 3\sin x + 4\cos x + 5$. Do đó

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0 \Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5$

            $\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x -  \frac{4}{5}\ cos x = 1$.    (1)

Đặt $\cos φ =  \frac{3}{5}$, $\left(φ ∈ \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ =  \frac{4}{5}$, ta có:

(1)   $\Leftrightarrow \sin x.\cos φ - \cos x.\sin φ = 1   \Leftrightarrow \sin(x - φ) = 1$

  $\Leftrightarrow x - φ =  \frac{\pi }{2} + k2π   \Leftrightarrow x = φ + \frac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z$.

b) $f'(x) = - \cos(π + x) - \sin \left (\pi + \frac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin  \frac{x }{2}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x +  \sin \frac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x }{2} = - cosx$

$\Leftrightarrow sin \frac{x }{2} = sin \left (x-\frac{\pi}{2}\right )$

$\Leftrightarrow \frac{x }{2}= x-\frac{\pi}{2}+ k2π$  hoặc $\frac{x }{2} = π - x+\frac{\pi}{2}+ k2π$ 

$\Leftrightarrow x = π - k4π$  hoặc $x = π + k \frac{4\pi }{3}$,  $(k ∈ \mathbb Z)$.