Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác...

Bài 6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc $x$:

a) $\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x$;

b) ${\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )$ $+{\cos ^2}  \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x$.

a) Ta có:

$y’ = 6{\sin ^5}x.\cos x - 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x -  6{\sin ^3}x.\cos x$

$= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x - 1) + 6\sin x.\cos^3 x(1 - {\cos ^2}x)$

$=  - 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0$.

Vậy $y’ = 0$ với mọi $x$, tức là $y’$ không phụ thuộc vào $x$.

 b)

$y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2}$

          $+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x$

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

$y’ =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )$

$- 2\sin 2x = 2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x$

$= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0$,

vì $\cos \frac{2\pi }{3}$ = $\cos \frac{4\pi }{3}$ = $-\frac{1}{2}$.

Vậy $y’ = 0$ với mọi $x$, do đó $y’$ không phụ thuộc vào $x$.