Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 (sách cũ) Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích...

Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác...

Bài 6 trang 169 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11: Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác. 6. Chứng minh rằng các hàm số sau

Bài 6. Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\);

b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\).

a) Ta có:

\(y’ = 6{\sin ^5}x.\cos x - 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x -  6{\sin ^3}x.\cos x\)

\(= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x - 1) + 6\sin x.\cos^3 x(1 - {\cos ^2}x)\)

\(=  - 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\).

Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\).

 b)

Advertisements (Quảng cáo)

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)

          \(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

\(y’ =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )\)

\(- 2\sin 2x = 2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),

vì \(\cos \frac{2\pi }{3}\) = \(\cos \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).

Vậy \(y’ = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y’\) không phụ thuộc vào \(x\).

 

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)