Bài 8 trang 120 Hình học 11: Bài 5. Khoảng cách...

Bài 8. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện. 

(H.3.69) 

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$,

$\Delta BAC = \Delta BDC(c.c.c)$ $\Rightarrow AN = DN$ (hai đường trung tuyến tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

Tam giác $AND$ cân tại $N$, nên $MN$ vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường cao do đó $MN\bot AD$  (1)

Chứng minh tương tự ta được: $MN\bot BC$          (2)

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $AD$

Tam giác $ABC$ đều nên $AN={{a\sqrt 3 } \over 2}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AMN$ ta có:

$A{N^2} = M{N^2} + A{M^2}$

$MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 2 } \over 2}$