Câu 67 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao: Bài 5: Khoảng cách...

Cho ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đường thẳng At vuông góc với mp(ABC) lấy điểm S với AS = b.

a) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, b.

b) Hz là đường thẳng đi qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mp(SBC). Chứng minh rằng khi S di động trên At thì đường thẳng Hz luôn đi qua một điểm cố định.

a) Gọi A₁ là trung điểm của BC thì $BC \bot mp\left( {SA{A_1}} \right)$,  từ đó $\left( {SA{A_1}} \right) \bot \left( {SBC} \right)$.

Kẻ đường cao AI của tam giác SAA₁ thì $AI \bot \left( {SBC} \right)$. Từ đó, khoảng cách từ A đến mp(SBC) bằng AI.

Ta có $AI = {{AS.A{A_1}} \over {S{A_1}}} = {{b.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over {\sqrt {{b^2} + {{3{a^2}} \over 4}} }}$.

Vậy $AI = {{ab\sqrt 3 } \over {\sqrt {3{{\rm{a}}^2} + 4{b^2}} }}$.

b) Vì H là trực tâm tam giác SBC nên H thuộc SA₁. Do $\left( {SA{A_1}} \right) \bot \left( {SBC} \right)$  và $H{\rm{z}} \bot \left( {SBC} \right)$ nên Hz nằm trong mp(SAA₁). Gọi K là giao điểm của Hz và AA₁, ta có $KH \bot \left( {SBC} \right),BH \bot SC$ nên $KB \bot SC$ (định lí ba đường vuông góc).

Mặt khác $SA \bot \left( {ABC} \right),BK \bot SC$ nên $BK \bot AC$ (định lí ba đường vuông góc). Như vậy K là trực tâm của tam giác ABC.

Vậy khi S di động trên đường thẳng At vuông góc với mp(ABC) thì đường thẳng Hz đi qua điểm cố định là trực tâm K của tam giác ABC.