Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ) Câu 68 trang 127 SBT Hình 11 nâng cao: Tính góc và...

Câu 68 trang 127 SBT Hình 11 nâng cao: Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và A’B...

Câu 68 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.. Bài 5: Khoảng cách

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và A’B.

b) Gọi M, N, P lần lượt là các điểm thuộc các cạnh A’B’, BC, DD’ sao cho A’M = BN = DP. Chứng minh rằng trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định khi M, N, P thay đổi.

a) Góc giữa AC’ và A’B bằng 90°. Vì AC’ vuông góc với (A’BD) tại trọng tâm G của tam giác A’BD và A’BD là tam giác đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên

\(d\left( {AC’;A’B} \right) = GI = {{a\sqrt 6 } \over 6}.\)

b) Đặt \(A’M = BN = DP = x\) thì

\(\eqalign{  & A{N^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  & A{P^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  & A{M^2} = {a^2} + {x^2}  \cr  &  \Rightarrow AM = AN = AP \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)

Mặt khác

\(N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2}\)

\(= {\left( {a - x} \right)^2} + {a^2} + {x^2}\)

\(N{M^2} = N{B^2} + BB{‘^2} + B'{M^2}\)

\(= {x^2} + {a^2} + {\left( {a - x} \right)^2} \)

Tương tự, ta có MN = NP = PM.

Do đó A.MNP là hình chóp đều. Khi ấy đường thẳng nối A với trọng tâm tam giác MNP sẽ vuông góc với mp(MNP). Tương tự như trên ta cũng có đường thẳng nối C’ với trọng tâm của tam giác MNP sẽ vuông góc với mp(MNP). Vậy trọng tâm tam giác MNP luôn thuộc đường thẳng cố định AC’.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 11 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)