Câu 69 trang 127 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao...

Đáy của hình chóp A.BCD là tam giác đều. Đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh A đi qua trung điểm H của cạnh CD. Cắt hình chóp đó bởi mặt phẳng song song với AB và CD và cách đỉnh B một khoảng bằng d. Tính diện tích thiết diện thu được, biết cạnh của tam giác đều BCD là a và $AB = a\sqrt 2$.

Dễ thấy thiết diện là hình bình hành PQRS. Mặt khác theo giả thiết $C{\rm{D}} \bot \left( {AHB} \right)$ nên $C{\rm{D}} \bot AB$. Vậy PQRS là hình chữ nhật.

Kẻ $HE \bot AB$ thì $HE \bot \left( {PQ{\rm{RS}}} \right)$. Kẻ IK // HE thì $IK \bot \left( {PQ{\rm{RS}}} \right)$. Do AB // (PQRS) và $d\left( {B;\left( {PQ{\rm{RS}}} \right)} \right) = d$ nên IK = d.

Ta có

$HE = {{AH.HB} \over {AB}} = {{\sqrt {A{B^2} - B{H^2}} .HB} \over {AB}} = {{a\sqrt {15} } \over {4\sqrt 2 }}$

Lại có

 $\eqalign{  & {{IK} \over {HE}} = {{BI} \over {BH}} = {{R{\rm{S}}} \over {C{\rm{D}}}}  \cr  &  \Rightarrow R{\rm{S}} = {{da} \over {a\sqrt {15} }}.4\sqrt 2  = {{4\sqrt 2 d} \over {\sqrt {15} }};  \cr  & BI = {{IK.BH} \over {HE}} = {{d.{{a\sqrt 3 } \over 2}} \over {{{a\sqrt {15} } \over {4\sqrt 2 }}}} = {{2\sqrt 2 d} \over {\sqrt 5 }} \cr}$

Mặt khác ${{IJ} \over {AB}} = {{HI} \over {HB}} = {{\left( {HB - IB} \right)} \over {HB}};$

Từ đó $IJ = {{AB\left( {HB - IB} \right)} \over {HB}} = {{\sqrt 2 \left( {a\sqrt {15}  - 4\sqrt 2 d} \right)} \over {\sqrt {15} }}$

Vậy ${S_{PQ{\rm{RS}}}} = R{\rm{S}}.IJ = {8 \over {15}}d\left( {a\sqrt {15}  - 4\sqrt 2 d} \right)$ .