Bài 8 trang 98 sgk hình học 11: Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc...

Bài 8. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC}=\widehat{BAD}=60^{0}.$ Chứng minh rằng: 

 a) $AB ⊥ CD$;

 b) Nếu $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ thì $MN ⊥ AB$ và $MN ⊥ CD$.

(h.3.21)

a) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

$=AB.AD.\cos\widehat{BAD}-AB.AC.\cos\widehat{BAC} =0$

$\Rightarrow  AB ⊥ CD$.
b) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN},$  (1)
    $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$   (2)

 Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).$

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{MN}={1 \over 2}\overrightarrow {AB} .(\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} )$

$= {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  - A{B^2})$

$= {1 \over 2}(AB.AD.\cos\widehat{BAD}+AB.AC.\cos\widehat{BAC}-AB^2)$

$={1 \over 2}(AB.AD.\cos60^0+AB.AC.\cos60^0-AB^2)$

$={1 \over 2}\left({1 \over 2}AB^2+{1 \over 2}AB^2-AB^2\right)=0$ $\Rightarrow  AB ⊥ MN$.

Chứng minh tương tự ta được: $CD ⊥ MN$.