Trang chủ Lớp 11 Toán lớp 11 (sách cũ) Lý thuyết về giới hạn của hàm số: Bài 2. Giới hạn...

Lý thuyết về giới hạn của hàm số: Bài 2. Giới hạn của hàm số....

Lý thuyết về giới hạn của hàm số. Bài 2. Giới hạn của hàm số.. Giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, các giới hạn đặc biệt.

Lý thuyết về giới hạn của hàm số.

Tóm tắt lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\). 

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈ K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\)ta có
\(\lim f(x_n) =L\). 

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((x_0; b)\).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi dãy số \((xn) bất kì, \(x_0<x_n< b\) và \(x_n\rightarrow x_0\) ,ta có \(\lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; x_0)\).

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(a <x_n< x_0\) và \(x_n\rightarrow x_0\), ta có
\(\lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +∞)\).

\(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n> a\), \(x_n\rightarrow +\infty\) thì \(lim f(x_n) = L\).

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((-∞; a)\).

\(\underset{x\rightarrow-\infty }{\lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n< a\), \(x_n\rightarrow -\infty\) thì \(\lim f(x_n) = L\).

2. Giới hạn vô cực

Sau đây là hai trong số nhiều loại giới hạn vô cực khác nhau:

+) Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên khoảng \((a; +∞)\), \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} f(x) = -∞\) khi và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n> a\), \(x_n\rightarrow +\infty\) thì ta có \(\lim f(x_n) = -∞\)

+) Cho khoảng \(K\) chứa điểm \(x_0\) và hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(K\) hoặc trên \(K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\). 

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = +∞\) và chỉ khi với dãy số \((x_n)\) bất kì, \(x_n ∈K\backslash {\rm{\{ }}{x_0}{\rm{\} }}\) và \(x_n\rightarrow x_0\) thì ta có 

\(\lim f(x_n) = +∞\).

Nhận xét: \(f(x)\) có giới hạn \(+∞ \) khi và chỉ khi \(-f(x)\) có giới hạn \(-∞\).

3. Các giới hạn đặc biệt

a) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} x = x_0\);

b) \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}c = c\);

Advertisements (Quảng cáo)

c) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim} c = c\);

d) \(\underset{x\rightarrow \pm \infty }{\lim}\) \(\frac{c}{x} = 0\) (\(c\) là hằng số);

e) \(\underset{x\rightarrow+\infty }{\lim} x^k= +∞\), với \(k\) nguyên dương;

f) \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim} x^k= -∞\), nếu \(k\) là số lẻ;

g)  \(\underset{x\rightarrow-\infty }{lim}x^k = +∞\) , nếu \(k\) là số chẵn.

4. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí 1. 

a) Nếu \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} = L\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(g(x) = M\) thì:

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) + g(x)] = L + M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) - g(x) = L - M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} [f(x) . g(x)] = L.M\);

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim}\) \(\frac{f(x)}{g(x)}\)= \(\frac{L}{M}\) (nếu \(M ≠ 0\)).

b) Nếu \(f(x) ≥ 0\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim} f(x) = L\), thì \(L ≥ 0\) và \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{\lim}\sqrt {f(x)} = \sqrt L\)

Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng khi \(x_n\rightarrow +\infty\) hoặc \(x_n\rightarrow -\infty\).

Định lí 2.

\(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}}{lim} f(x) = L\) khi và chỉ khi \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{+}}{lim}\) f(x) = \(\underset{x\rightarrow x_{_{0}}^{-}}{\lim} f(x) = L\).

5. Quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc giới hạn của tích \(f(x).g(x)\)

b) Quy tắc tìm giới hạn của thương \(\frac{f(x)}{g(x)}\)

(Dấu của \(g(x)\) xét trên một khoảng \(K\) nào đó đang tính giới hạn, với \(x ≠ x_0\) ).

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn Toán lớp 11 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)