Bài 26 trang 75 SBT Toán 12 - Cánh diều: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M 2;2; - 2, N - 3;5;1...

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho $M\left( {2;2; - 2} \right),N\left( { - 3;5;1} \right),P\left( {1; - 1; - 2} \right)$.

a) Chứng minh rằng ba điểm $M,N,P$ không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác $MNP$.

c) Tính $\cos \widehat {NMP}$.

‒ Sử dụng tính chất: Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng nếu hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ cùng phương.

‒ Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng $AB$:

$AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$.

‒ Sử dụng công thức tính góc của hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$:

$\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{{x_1}.{x_2} + {y_1}.{y_2} + {z_1}.{z_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} .\sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} }}$.

a) Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { - 5;3;3} \right),\overrightarrow {MP} = \left( { - 1; - 3;0} \right),k\overrightarrow {MP} = \left( { - k; - 3k;0} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {MN} \ne k\overrightarrow {MP} ,\forall k \in \mathbb{R}$.

Vậy ba điểm $M,N,P$ không thẳng hàng.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2} + {3^2} + {3^2}} = \sqrt {43} ;\\MP = \left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2}} = \sqrt {10} ;\\NP = \left| {\overrightarrow {NP} } \right| = \sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 5} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt {61} .\end{array}$

Chu vi tam giác $MNP$là: $\sqrt {43} + \sqrt {10} + \sqrt {61}$.

c) Trong tam giác $MNP$, ta có:

$\cos \widehat {NMP} = \cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right) = \frac{{\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} }}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {MP} } \right|}} = \frac{{\left( { - 5} \right).\left( { - 1} \right) + 3.\left( { - 3} \right) + 3.0}}{{\sqrt {43} .\sqrt {10} }} = - \frac{4}{{\sqrt {430} }}$.