Một vật được phóng lên trời theo một góc xiên \(\theta \left( {{{45}^ \circ }
\(R\left( \theta \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta - \cos \theta } \right)\)
Góc ném \(\theta \) nào làm cho quãng đường R lớn nhất? Giá trị lớn nhất của R là bao nhiêu?
Xét hàm số \(R\left( \theta \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta - \cos \theta } \right)\). Yêu cầu bài toán tương đương tìm giá trị lớn nhất của hàm. Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên của hàm số và đưa ra kết luận.
Xét hàm số \(R\left( \theta \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\cos \theta \left( {\sin \theta - \cos \theta } \right)\). Ta cần tìm \(\theta \) để hàm số đạt giá trị lớn nhất.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(R\left( \theta \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos \theta \sin \theta - {{\cos }^2}\theta } \right) = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {2\cos \theta \sin \theta - 2{{\cos }^2}\theta } \right)\)
\( = \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{32}}\left( {\sin 2\theta - \cos 2\theta - 1} \right)\), \(\left( {{{45}^ \circ }
Khi đó \(R’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{v_0^2\sqrt 2 }}{{16}}\left( {\cos 2\theta + \sin 2\theta } \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2\theta + \sin 2\theta = 0 \Leftrightarrow 2\theta = {135^ \circ } \Leftrightarrow \theta = {67,5^ \circ }\)
(do \({45^ \circ }
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(67,5\): \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {45;90} \right]} R = R\left( {67,5} \right) = \frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}.\)
Vậy khi góc ném \(\theta = {67,5^ \circ }\) thì quãng đường R là lớn nhất và bằng \(\frac{{v_0^2\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{{32}}\) feet.