Bài 1.23 trang 19 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau...

Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:

a) $y = \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}}$;

b) $y = \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}}$.

Sử dụng định nghĩa tiệm cận xiên, đứng của đồ thị hàm số, tính các giới hạn để tìm các tiệm cận đó.

a) Ta có $y = x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}$. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = - \infty$.

Do đó đường thẳng $x = 2$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0$. Do đó đường thẳng $y = x + 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) Ta có $y = 3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}.$$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) = + \infty$; $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) = - \infty$.

Do đó đường thẳng $x = - 3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) - \left( {3x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x + 3}}} \right) = 0$. Do đó đường thẳng $y = 3x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.