Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = \frac{{{x^2} - x - 5}}{{x - 2}}\);
b) \(y = \frac{{3{x^2} + 8x - 2}}{{x + 3}}\).
Sử dụng định nghĩa tiệm cận xiên, đứng của đồ thị hàm số, tính các giới hạn để tìm các tiệm cận đó.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có \(y = x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}\). Khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = - \infty \).
Do đó đường thẳng \(x = 2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x + 1 - \frac{3}{{x - 2}}} \right) - \left( {x + 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - \frac{3}{{x - 2}}} \right) = 0\). Do đó đường thẳng \(y = x + 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b) Ta có \(y = 3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}.\)\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ + }} \left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) = - \infty \).
Do đó đường thẳng \(x = - 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {3x - 1 + \frac{1}{{x + 3}}} \right) - \left( {3x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x + 3}}} \right) = 0\). Do đó đường thẳng \(y = 3x - 1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.