Tìm các khoảng đơn điệu và các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = {x^4} - 2{x^2} + 3\);
b) \(y = {x^2}\ln x\).
Ý a:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng \(0\).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Ý b:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng \(0\).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(y’ = 4{x^3} - 4x\). Khi đó \(y’ = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow {x^3} - x = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) và \({y_{CĐ}} = y\left( { 0} \right) = 3\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) và \({y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) = 2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\).
b) Tập xác định: \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Ta có \(y’ = 2x\ln x + x\). Khi đó \(y’ = 0 \Leftrightarrow 2x\ln x + x = 0 \Leftrightarrow \ln x = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\)
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}; + \infty } \right)\). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {e^{ - \frac{1}{2}}}\) và \({y_{CT}} = y\left( {{e^{ - \frac{1}{2}}}} \right) = - \frac{1}{{2e}}\).